Nombor kompleks: definisi dan konsep asas

2024 Pengarang: Angel Austin | [email protected]. Diubah suai terakhir: 2023-12-17 05:36

Apabila mengkaji sifat persamaan kuadratik, sekatan telah ditetapkan - untuk diskriminasi kurang daripada sifar, tiada penyelesaian. Ia segera ditetapkan bahawa kita bercakap tentang satu set nombor nyata. Fikiran ingin tahu seorang ahli matematik akan tertarik - apakah rahsia yang terkandung dalam klausa tentang nilai sebenar?

Lama kelamaan, ahli matematik memperkenalkan konsep nombor kompleks, di mana nilai bersyarat punca kedua tolak satu diambil sebagai unit.

Latar belakang sejarah

Teori matematik berkembang secara berurutan, daripada mudah kepada kompleks. Mari kita fikirkan bagaimana konsep yang dipanggil "nombor kompleks" timbul dan sebab ia diperlukan.

Sejak dahulu lagi, asas matematik ialah akaun biasa. Para penyelidik hanya mengetahui set nilai semula jadi. Penambahan dan penolakan adalah mudah. Apabila hubungan ekonomi menjadi lebih kompleks, pendaraban mula digunakan dan bukannya menambah nilai yang sama. Terdapat operasi terbalik untukpendaraban - bahagi.

Konsep nombor asli mengehadkan penggunaan operasi aritmetik. Adalah mustahil untuk menyelesaikan semua masalah pembahagian pada set nilai integer. Bekerja dengan pecahan membawa pertama kepada konsep nilai rasional, dan kemudian kepada nilai tidak rasional. Jika untuk rasional adalah mungkin untuk menunjukkan lokasi tepat titik pada garis, maka untuk tidak rasional adalah mustahil untuk menunjukkan titik sedemikian. Anda hanya boleh menganggarkan selang. Penyatuan nombor rasional dan tidak rasional membentuk set nyata, yang boleh diwakili sebagai garis tertentu dengan skala tertentu. Setiap langkah di sepanjang garis ialah nombor asli, dan di antara mereka adalah nilai rasional dan tidak rasional.

Era matematik teori telah bermula. Perkembangan astronomi, mekanik, fizik memerlukan penyelesaian persamaan yang semakin kompleks. Secara umum, punca-punca persamaan kuadratik telah ditemui. Apabila menyelesaikan polinomial padu yang lebih kompleks, saintis menghadapi percanggahan. Konsep punca kubus daripada negatif masuk akal, tetapi untuk punca kuasa dua, ketidakpastian diperoleh. Selain itu, persamaan kuadratik hanyalah kes khas bagi kubik.

Pada tahun 1545, J. Cardano Itali mencadangkan untuk memperkenalkan konsep nombor khayalan.

Nombor ini ialah punca kedua tolak satu. Istilah nombor kompleks akhirnya terbentuk hanya tiga ratus tahun kemudian, dalam karya ahli matematik terkenal Gauss. Beliau mencadangkan secara rasmi melanjutkan semua hukum algebra kepada nombor khayalan. Talian sebenar telah dipanjangkan kepadakapal terbang. Dunia lebih besar.

Konsep asas

Imbas kembali beberapa fungsi yang mempunyai sekatan pada set sebenar:

y=arcsin(x), ditakrifkan antara negatif dan positif 1.
y=ln(x), logaritma perpuluhan masuk akal dengan hujah positif.
akar kuasa dua y=√x, dikira hanya untuk x ≧ 0.

Menyatakan i=√(-1), kami memperkenalkan konsep sedemikian sebagai nombor khayalan, ini akan mengalih keluar semua sekatan daripada domain takrifan fungsi di atas. Ungkapan seperti y=arcsin(2), y=ln(-4), y=√(-5) masuk akal dalam beberapa ruang nombor kompleks.

Bentuk algebra boleh ditulis sebagai ungkapan z=x + i×y pada set nilai x dan y sebenar, dan i² =-1.

Konsep baharu mengalih keluar semua sekatan ke atas penggunaan mana-mana fungsi algebra dan menyerupai graf garis lurus dalam koordinat nilai sebenar dan khayalan.

Satah kompleks

Bentuk geometri nombor kompleks secara visual membolehkan kita mewakili banyak sifatnya. Pada paksi Re(z) kita menandakan nilai x sebenar, pada Im(z) - nilai khayalan y, maka titik z pada satah akan memaparkan nilai kompleks yang diperlukan.

perwakilan geometri bagi nombor kompleks

Definisi:

Re(z) - paksi sebenar.
Im(z) - bermaksud paksi khayalan.
z - titik bersyarat bagi nombor kompleks.
Nilai berangka panjang vektor dari sifar hingga z dipanggilmodul.
Paksi nyata dan khayalan membahagikan pesawat kepada empat bahagian. Dengan nilai positif koordinat - suku I. Apabila hujah paksi sebenar adalah kurang daripada 0, dan paksi khayalan lebih besar daripada 0 - suku II. Apabila koordinat negatif - suku III. Suku keempat yang terakhir mengandungi banyak nilai nyata positif dan nilai khayalan negatif.

Oleh itu, pada satah dengan nilai koordinat x dan y, seseorang sentiasa boleh menggambarkan titik nombor kompleks. Watak i diperkenalkan untuk memisahkan bahagian sebenar daripada yang khayalan.

Properties

Apabila nilai hujah khayalan ialah sifar, kita hanya mendapat nombor (z=x), yang terletak pada paksi sebenar dan tergolong dalam set sebenar.
Kes khas apabila nilai hujah sebenar menjadi sifar, ungkapan z=i×y sepadan dengan lokasi titik pada paksi khayalan.
Bentuk umum z=x + i×y adalah untuk nilai bukan sifar argumen. Menunjukkan lokasi titik yang mencirikan nombor kompleks dalam salah satu suku.

notasi trigonometri

Imbas kembali sistem koordinat kutub dan takrifan fungsi trigonometri sin dan cos. Adalah jelas bahawa dengan bantuan fungsi ini adalah mungkin untuk menerangkan lokasi mana-mana titik pada pesawat. Untuk melakukan ini, cukup untuk mengetahui panjang rasuk kutub dan sudut kecondongan kepada paksi sebenar.

Definisi. Entri bentuk ∣z ∣ didarab dengan hasil tambah fungsi trigonometri cos(ϴ) dan bahagian khayalan i ×sin(ϴ) dipanggil nombor kompleks trigonometri. Di sini sebutan ialah sudut kecondongan kepada paksi sebenar

ϴ=arg(z) dan r=∣z∣, panjang rasuk.

Dari definisi dan sifat fungsi trigonometri, formula Moivre yang sangat penting berikut:

zⁿ =r × (cos(n × ϴ) + i × sin(n × ϴ)).

Menggunakan formula ini, adalah mudah untuk menyelesaikan banyak sistem persamaan yang mengandungi fungsi trigonometri. Terutamanya apabila masalah menaikkan kuasa timbul.

Modul dan fasa

Untuk melengkapkan penerangan set kompleks, kami mencadangkan dua takrifan penting.

Mengetahui teorem Pythagoras, adalah mudah untuk mengira panjang rasuk dalam sistem koordinat kutub.

r=∣z∣=√(x² + y²), tatatanda sedemikian pada ruang kompleks dipanggil " modul" dan mencirikan jarak dari 0 ke satu titik pada satah.

Sudut kecondongan rasuk kompleks kepada garis sebenar ϴ biasanya dipanggil fasa.

Takrifan menunjukkan bahagian nyata dan khayalan diterangkan menggunakan fungsi kitaran. Iaitu:

x=r × cos(ϴ);
y=r × sin(ϴ);

Sebaliknya, fasa berkaitan dengan nilai algebra melalui formula:

ϴ=arctan(x / y) + µ, pembetulan µ diperkenalkan untuk mengambil kira keberkalaan fungsi geometri.

Formula Euler

Ahli matematik sering menggunakan bentuk eksponen. Nombor satah kompleks ditulis sebagai ungkapan

z=r × eⁱ^×^ϴ , yang mengikuti daripada formula Euler.

Rekod ini digunakan secara meluas untuk pengiraan praktikal kuantiti fizik. Bentuk persembahan dalam bentuknombor kompleks eksponen amat sesuai untuk pengiraan kejuruteraan, di mana ia menjadi perlu untuk mengira litar dengan arus sinusoidal dan adalah perlu untuk mengetahui nilai kamiran fungsi dengan tempoh tertentu. Pengiraan itu sendiri berfungsi sebagai alat dalam reka bentuk pelbagai mesin dan mekanisme.

Tentukan operasi

Seperti yang telah dinyatakan, semua hukum algebra bekerja dengan fungsi asas matematik digunakan untuk nombor kompleks.

Jumlah operasi

Apabila menambah nilai kompleks, bahagian sebenar dan khayalannya turut ditambah.

z=z₁ + z₂ di mana z₁ dan z2 _{- nombor kompleks am. Mengubah ungkapan, selepas membuka kurungan dan memudahkan notasi, kita mendapat hujah sebenar x=(x}1 _{+ x}2_{), hujah khayalan y=(y 1} + y₂).

Pada graf, ia kelihatan seperti penambahan dua vektor, mengikut peraturan selari yang terkenal.

Operasi tolak

Dianggap sebagai kes penambahan khas, apabila satu nombor positif, yang lain negatif, iaitu, terletak di suku cermin. Tatatanda algebra kelihatan seperti perbezaan antara bahagian nyata dan khayalan.

z=z₁ - z₂, atau, dengan mengambil kira nilai hujah, sama seperti penambahan operasi, kami memperoleh untuk nilai sebenar x=(x₁ - x₂) dan khayalan y=(y₁- y₂).

Pendaraban pada satah kompleks

Menggunakan peraturan untuk bekerja dengan polinomial, kami memperoleh formulauntuk menyelesaikan nombor kompleks.

Mengikut peraturan algebra am z=z₁×z₂, huraikan setiap hujah dan senaraikan hujah yang serupa. Bahagian sebenar dan khayalan boleh ditulis seperti ini:

x=x₁ × x₂ - y₁ × y₂,
y=x₁ × y₂ + x₂ × y _1.

Ia kelihatan lebih cantik jika kita menggunakan nombor kompleks eksponen.

Ungkapan kelihatan seperti ini: z=z₁ × z₂ =r₁ × eⁱ^ϴ¹ × r₂ × eiϴ2^=r1 _{× r2} × e_i(^ϴ¹⁺^ϴ2).

Secara ringkasnya, modul didarabkan dan fasanya ditambah.

Bahagian

Apabila mempertimbangkan operasi bahagi sebagai songsangan pendaraban, kami memperoleh ungkapan mudah dalam tatatanda eksponen. Membahagikan nilai z₁ dengan z₂ ialah hasil pembahagian modul dan perbezaan fasanya. Secara rasmi, apabila menggunakan bentuk eksponen nombor kompleks, ia kelihatan seperti ini:

z=z₁ / z₂ =r₁ × e ⁱ^ϴ¹ / r₂ × eⁱ ^ϴ²=r₁ / r_{2× e}i(ϴ1-ϴ 2).

Dalam bentuk tatatanda algebra, operasi membahagi nombor satah kompleks ditulis lebih rumit sedikit:

z=z₁ / z_2.

Menghuraikan hujah dan melakukan transformasi polinomial, adalah mudah untuk mendapatkan nilaix=x₁ × x₂ + y₁ × y₂, masing-masing y=x₂ × y₁ - x₁ × y₂ , walau bagaimanapun, dalam ruang yang diterangkan, ungkapan ini masuk akal jika z₂ ≠ 0.

Ekstrak akar

Semua di atas boleh digunakan semasa mentakrifkan fungsi algebra yang lebih kompleks - menaikkan kepada sebarang kuasa dan songsang kepadanya - mengekstrak punca.

Menggunakan konsep umum menaikkan kuasa n, kita mendapat definisi:

zⁿ =(r × eⁱ^ϴ).

Menggunakan sifat biasa, tulis semula sebagai:

zⁿ =rⁿ × eⁱ^ϴ.

Kami mendapat formula mudah untuk menaikkan nombor kompleks kepada kuasa.

Dari definisi darjah kita mendapat akibat yang sangat penting. Kuasa genap unit khayalan sentiasa 1. Mana-mana kuasa ganjil unit khayalan sentiasa -1.

Sekarang mari kita kaji fungsi songsang - mengekstrak punca.

Untuk memudahkan tatatanda, mari kita ambil n=2. Punca kuasa dua w bagi nilai kompleks z pada satah kompleks C dianggap sebagai ungkapan z=±, sah untuk sebarang hujah sebenar yang lebih besar daripada atau sama dengan sifar. Untuk w ≦ 0, tiada penyelesaian.

Mari kita lihat persamaan kuadratik termudah z² =1. Menggunakan formula nombor kompleks, tulis semula r² × eⁱ^2ϴ =r² × eⁱ^2ϴ=ei0^{. Ia boleh dilihat daripada rekod bahawa r}2 ^{=1 dan ϴ=0, oleh itu, kami mempunyai penyelesaian unik bersamaan dengan 1. Tetapi ini bercanggah dengan tanggapan bahawa z=-1 juga sesuai dengan takrif punca kuasa dua.}

Mari kita fikirkan perkara yang kita tidak ambil kira. Jika kita mengingati notasi trigonometri, maka kita memulihkan pernyataan - dengan perubahan berkala dalam fasa ϴ, nombor kompleks tidak berubah. Biarkan p menyatakan nilai tempoh itu, maka kita mempunyai r² × eⁱ^2ϴ =ei(0+p)^{, dari mana 2ϴ=0 + p, atau ϴ=p / 2. Oleh itu, e}i0 ^{=1 dan e}i^p^/2 =-1. Kami mendapat penyelesaian kedua, yang sepadan dengan pemahaman umum punca kuasa dua.

Jadi, untuk mencari punca arbitrari bagi nombor kompleks, kami akan mengikut prosedur.

Tulis bentuk eksponen w=∣w∣ × eⁱ⁽^arg (w) + pk), k ialah integer arbitrari.
Nombor yang dikehendaki juga diwakili dalam bentuk Euler z=r × eⁱ^ϴ.
Gunakan takrifan umum fungsi pengekstrakan akar r eⁱ ϴ ^{=∣w∣ × e}i(arg(w) + pk).
Dari sifat umum kesamaan modul dan hujah, kami menulis rⁿ =∣w∣ dan nϴ=arg (w) + p×k.
Rekod akhir punca nombor kompleks diterangkan dengan formula z=√∣w∣ × eⁱ ⁽ ^arg (w) + pk ^{) /} .
Nota. Nilai ∣w∣, mengikut takrifan,ialah nombor nyata positif, jadi punca mana-mana darjah masuk akal.

Medan dan konjugasi

Sebagai kesimpulan, kami memberikan dua takrifan penting yang tidak begitu penting untuk menyelesaikan masalah gunaan dengan nombor kompleks, tetapi penting untuk perkembangan selanjutnya teori matematik.

Ungkapan untuk penambahan dan pendaraban dikatakan membentuk medan jika ia memenuhi aksiom untuk mana-mana unsur satah kompleks z:

Jumlah kompleks tidak berubah daripada menukar tempat istilah kompleks.
Pernyataan itu benar - dalam ungkapan kompleks, sebarang jumlah dua nombor boleh digantikan dengan nilainya.
Terdapat nilai neutral 0 yang mana z + 0=0 + z=z adalah benar.
Untuk mana-mana z terdapat bertentangan - z, penambahan yang memberikan sifar.
Apabila menukar tempat faktor kompleks, produk kompleks tidak berubah.
Pendaraban mana-mana dua nombor boleh digantikan dengan nilainya.
Terdapat nilai neutral 1, pendaraban yang tidak mengubah nombor kompleks.
Untuk setiap z ≠ 0, terdapat songsang bagi z^-1, yang didarab dengan 1.
Mendarab dua nombor dengan satu pertiga adalah bersamaan dengan operasi mendarab setiap nombor dengan nombor ini dan menambah hasilnya.
0 ≠ 1.

Nombor z₁ =x + i×y dan z₂ =x - i×y dipanggil konjugat.

Teorem. Untuk konjugasi, pernyataan adalah benar:

Konjugasi hasil tambah adalah sama dengan jumlah unsur konjugasi.
Konjugat produk ialahhasil konjugasi.
Konjugasi konjugasi adalah sama dengan nombor itu sendiri.

Dalam algebra umum, sifat sedemikian dipanggil automorfisme medan.

Contoh

Mengikut peraturan dan formula nombor kompleks yang diberikan, anda boleh mengendalikannya dengan mudah.

Mari kita pertimbangkan contoh paling mudah.

Masalah 1. Menggunakan persamaan 3y +5 x i=15 - 7i, tentukan x dan y.

Keputusan. Ingat takrif kesamaan kompleks, maka 3y=15, 5x=-7. Oleh itu, x=-7 / 5, y=5.

Tugasan 2. Kira nilai 2 + i²⁸ dan 1 + i¹³⁵.

Keputusan. Jelas sekali, 28 ialah nombor genap, daripada akibat takrifan nombor kompleks dalam kuasa yang kita ada i²⁸ =1, yang bermaksud bahawa ungkapan 2 + i ²⁸ =3. Nilai kedua, i¹³⁵ =-1, kemudian 1 + i¹³⁵ =0.

Tugas 3. Kira hasil darab nilai 2 + 5i dan 4 + 3i.

Keputusan. Daripada sifat umum pendaraban nombor kompleks, kita perolehi (2 + 5i)X(4 + 3i)=8 - 15 + i(6 + 20). Nilai baharu ialah -7 + 26i.

Tugas 4. Hitung punca-punca persamaan z³ =-i.

Keputusan. Terdapat beberapa cara untuk mencari nombor kompleks. Mari kita pertimbangkan salah satu yang mungkin. Mengikut takrifan, ∣ - i∣=1, fasa untuk -i ialah -p / 4. Persamaan asal boleh ditulis semula sebagai r³eⁱ3ϴ ^=e-p/4+pk^{, dari mana z=e}-p / 12 + pk/3^{, untuk sebarang integer k.}

Set penyelesaian mempunyai bentuk (e^-^ip/12,e^ip^/4, eⁱ² ^p/3).

Mengapa kita memerlukan nombor kompleks

Sejarah mengetahui banyak contoh apabila saintis, bekerja pada teori, tidak memikirkan tentang aplikasi praktikal hasil mereka. Matematik adalah, pertama sekali, permainan minda, pematuhan ketat kepada hubungan sebab-akibat. Hampir semua pembinaan matematik dikurangkan kepada menyelesaikan persamaan kamiran dan pembezaan, dan seterusnya, dengan beberapa penghampiran, diselesaikan dengan mencari punca polinomial. Di sini kita mula-mula menemui paradoks nombor khayalan.

Saintis naturalis, menyelesaikan masalah praktikal sepenuhnya, menggunakan penyelesaian pelbagai persamaan, menemui paradoks matematik. Tafsiran paradoks ini membawa kepada penemuan yang sangat menakjubkan. Sifat dwi gelombang elektromagnet adalah satu contoh sedemikian. Nombor kompleks memainkan peranan penting dalam memahami sifatnya.

Ini, seterusnya, telah menemui aplikasi praktikal dalam optik, elektronik radio, tenaga dan banyak lagi bidang teknologi lain. Contoh lain, lebih sukar untuk memahami fenomena fizikal. Antimateri telah diramalkan di hujung pena. Dan hanya beberapa tahun kemudian, percubaan untuk mensintesiskannya secara fizikal bermula.

Jangan fikir hanya dalam fizik terdapat situasi sedemikian. Penemuan yang tidak kurang menarik dibuat dalam hidupan liar, dalam sintesis makromolekul, semasa kajian kecerdasan buatan. Dan itu semua berkatpengembangan kesedaran kita, menjauhi penambahan dan penolakan mudah nilai semula jadi.